1 Library-Artikel zur Funktionentheorie:

Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Analog zu dem reellen Fall definiert man: Eine Funktion ist komplex differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:

(Für eine exakte Definition muss f dabei in einer Umgebung von a definiert sein und der Grenzwert muss für alle hinreichend kleinen w existieren und gleich sein). Für den Grenzwert muss dabei der komplexe Abstandsbegriff benutzt werden:

Damit sind für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die komplexe Differenzierbarkeit und die Differenzierbarkeit der zweidimensionalen reellen Analysis (reelle Differenzierbarkeit). Komplex differenzierbare Funktionen sind auch reell differenzierbar, die Umkehrung gilt in dem Allgemeinen nicht.

Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes komplex differenzierbar sind, bezeichnet man holomorphe Funktionen. Diese haben eine Reihe hervorragender Merkmale, die es rechtfertigen, dass sich eine eigene Theorie hauptsächlich damit beschäftigt - eben die Funktionentheorie. Zum Beispiel ist eine Funktion, die einmal komplex differenzierbar ist, automatisch beliebig häufig komplex differenzierbar! (Im Gegensatz zu dem reellen Fall).

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgendes Merkmalen komplexer Funktionen gleichwertig:

• 1. Eine Funktion ist einmal komplex differenzierbar
• 2. Eine Funktion ist beliebig häufig komplex differenzierbar
• 3. Real- und Imaginärteil erfüllen die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen und sind immerhin einmal reell stetig differenzierbar
• 4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln
• 5. Das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen einfach zusammenhängenden Weg verschwindet.
• 6. Die Funktionswerte in dem Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes ermitteln.

Holomorphe Funktionen sind somit die angenehmsten Funktionen, die es in der Mathematik gibt: Sie sind beliebig häufig differenzierbar, können in eine Potenzreihe (Taylor-Reihe) entwickelt werden und vieles mehr. Fast alle Funktionen, die aus der Schulmathematik bekannt sind, sind Real- oder Imaginärteil einer komplexen Funktion (immerhin auf einem Teil der komplexen Ebene): Insbesondere gilt das für Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen (Sinus, Cosinus), Exponentialfunktion, Logarithmus, und Wurzelfunktionen .

Meromorphe Funktionen sind holomorph (analytisch) bis auf Polstellen. Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln, die aber ca. endlich viele Reihenglieder besitzen, bei denen Potenzen mit negativen Exponenten vorkommen.

Neben holomorphen und meromorphen Funktionen gibt es in der Funktionentheorie Funktionen mit wesentlichen Singularitäten . Sie sind dadurch charakterisiert, dass eine Funktion in der Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert annehmen kann (Satz von Picard). Funktionen mit wesentlichen Singularitäten haben eine nicht abbrechende Laurententwicklung für Potenzen mit negativen Exponenten.

Reelle Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen, sind auch Realteil einer holomorphen Funktion. Damit lassen sich diese Funktionen auf die komplexe Ebene erweitern. Durch diese Erweiterung kann man häufig Zusammenhänge und Merkmale von Funktionen finden, die im Reellen verborgen bleiben, zu dem Beispiel die Eulersche Identität. Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche in der Physik (beispielsweise in der Quantenmechanik die Darstellung von Wellenfunktionen, sowie in der Elektrotechnik zweidimensionale Strom-Spannungs-Diagramme). Diese Identität ist auch die Basis für die komplexe Form der Fouriertransformation. In vielen Fällen lässt sich diese einfach durch komplexe Analysis berechnen.

Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil harmonische Funktionen sind, also die Laplace-Gleichung erfüllen. Dies verknüpft die Funktionentheorie mit den partiellen Differentialgleichungen, beide Gebiete haben sich regelmäßig gegenseitig beeinflusst.

Das Wegintegral einer holomorphen Funktione ist vom Weg unahängig. Dies war historisch das erste Beispiel einer Homotopieinvarianz. Aus diesem Aspekt der Funktionentheorie entstanden viele Ideen der algebraischen Topologie.

Außerdem kann man die Wegunabhängigkeit benutzen, um relle Integrale zu berechnen, indem man die Integration in der komplexen Ebene durchführt. (siehe Residuensatz).

Wichtige Ergebnisse sind der Cauchysche Integralsatz, der Residuensatz und der Riemannsche Abbildungssatz. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Fundamentalsatz der Algebra. Er besagt, dass sich ein Polynom in dem Bereich der komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Für Polynome in dem Bereich der reellen Zahlen ist dies in dem Allgemeinen nicht möglich.

Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die analytische Fortsetzbarkeit von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die Grenzen ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.

Man kann auch Funktionen betrachten, die von mehreren komplexen Variablen abhängen. Es hat sich jedoch gezeigt, dass sich in diesem Fall eine viel kompliziertere Theorie ergibt als im Fall ca. einer Variablen. Insbesondere gelten die meisten Ergebnisse der normalen Funktionentheorie ca. mehr mit Einschränkungen (beispielsweise an das Gebiet). Die Funktionentheorie mehrerer Variablen ist eher theoretisch interessant. Sie wird zu dem Beispiel in der Quantenfeldtheorie benutzt.

• komplexe Zahlen
• komplexe Teilmengen
• Holomorphie

• Cauchyscher Integralsatz
• Residuensatz
• Riemannscher Abbildungssatz

• Exponentialfunktion
• Kreisfunktionen
• Hyperbelfunktionen

• Gammafunktion